[152]PBSの屈折率の式について 投稿者:A.Y. 投稿日:00/10/31(火) 18:08 ZEMAX Ver.9.1b EE ご無沙汰しておりました。久々の質問です。 ある本に、MacNeille型PBSの屈折率の条件式の導出が出ています。 プリズム、高屈折率膜、低屈折率膜の屈折率をそれぞれn0、nH、nLとすると、 Brewster条件から n0/cosθ0=nH/cosθH=nL/cosθL (1) Snellの式から n0*sinθ0=nH*sinθH=nL*sinθL (2) ここまではわかるのですが、次の式がどうやって出てくるのかがわかりません。 (n0^2)*(sinθ0)^2=(nH^2)*(nL^2)/(nH^2+nL^2) (3) よろしくお願いいたします。 レス: レンズ屋 投稿日: 00/11/02(木) 18:28 私にはさっぱりわかりません。 どなたかわかる方がいらっしゃいましたらコメントお願いします。 レス: 村瀬 投稿日: 00/11/02(木) 21:18 村瀬です。 これは光学の問題ではありませんので、私にも回答できます。 ただひたすら式を変形していけば出てきます。 ではやってみます。 まずは式(1)の変形から、２つの式が同時に書いてあって説明しずらいので、 別々に書きます。 n0/cosθ0=nH/cosθH (1a) n0/cosθ0=nL/cosθL (1b) まずは(1a)から、分子分母を入れ替えて cosθ0/n0=cosθH/nH nH^2を両辺に掛けて nH^2*cosθ0/n0=nH*cosθH 両辺を２乗します nH^4*cosθ0^2/n0^2=nH^2*cosθH^2 (1a-1) 同様に(1b)も変形すると nL^4*cosθ0^2/n0^2=nL^2*cosθL^2 (1b-1) 次に式(2)の変形。これも別々に書き直します。 n0*sinθ0=nH*sinθH (2a) n0*sinθ0=nL*sinθL (2b) まず(2a)、両辺を２乗します n0^2*sinθ0^2=nH^2*sinθH^2 (2a-1) (2b)も同様に、 n0^2*sinθ0^2=nL^2*sinθL^2 (2b-1) ここで、(1a-1)と(2a-1)を足します。 nH^4*cosθ0^2/n0^2 + n0^2*sinθ0^2 = nH^2*(cosθH^2 + sinθH^2) (cosθH^2 + sinθH^2) は 1 ですので、 nH^4*cosθ0^2/n0^2 + n0^2*sinθ0^2 = nH^2 (3a) 同様に、(1a-1)と(2a-1)を足して、 nL^4*cosθ0^2/n0^2 + n0^2*sinθ0^2 = nL^2 (3b) (3b)を変形していきます nL^4*cosθ0^2/n0^2 = nL^2 - n0^2*sinθ0^2 cosθ0^2/n0^2 = (nL^2 - n0^2*sinθ0^2)/nL^4 (3b-1) (3b-1)を(3a)に代入して nH^4*(nL^2 - n0^2*sinθ0^2)/nL^4 + n0^2*sinθ0^2 = nH^2 やっとsinθ0だけの式になりました。これをまだまだ変形していきます。 nH^4*nL^2/nL^4 - nH^4*n0^2*sinθ0^2/nL^4 + n0^2*sinθ0^2 = nH^2 n0^2*sinθ^2(1 - nH^4/nL^4) = nH^2- nH^4*nL^2/nL^4 n0^2*sinθ^2 = (nH^2- nH^4*nL^2/nL^4)/(1 - nH^4/nL^4) ４乗とかあって、こんなのが目的の式になるのか不安になりますが、 信じて先へ進みましょう。 n0^2*sinθ^2 = ((nH^2*nL^4 - nH^4*nL^2)/nL^4)/((nL^4 - nH^4)/nL^4) n0^2*sinθ^2 = (nH^2*nL^4 - nH^4*nL^2)/(nL^4 - nH^4) n0^2*sinθ^2 = nH^2*nL^2*(nL^2 - nH^2)/((nL^2 + nH^2)*(nL^2 - nH^2)) ここで、(nL^2 - nH^2)がなくなって n0^2*sinθ^2 = nH^2*nL^2/(nH^2 + nL^2) 目的の式になりました。おつかれさまでした。 レス: 村瀬 投稿日: 00/11/02(木) 21:22 すみません。最後の式６つ、sinθ0 を sinθと書いてしまいました。訂正します。 レス: レンズ屋 投稿日: 00/11/03(金) 15:27 す、すごい！ 村瀬さん、ありがとうございます。 レス: A.Y. 投稿日: 00/11/06(月) 08:34 なるほど。どうもありがとうございました。